정수방정식의 정수해의 존재성에 관하여

On a Solvability of an integral Equation

합동방정식과 정수방정식의 관련성은 F 가 정수계수의 다항식 일때 방정식 F(x₁, x₂, …, x?? ) = 0 (1) 이 정수해를 가지면, 임의의 양의 정수 m에 대해 합동방정식 F(x₁, x₂, …, x?? )= 0 (mod m) (2) 인 해를 갖는다는 사실에 근거를 두고 있다. 합동방정식의 해의 존재성에 관한 문제는 항상 해결 되므로, 우리는 (1)의 정수해의 존재성에 관한 몇 개의 필요조건을 가지고 있다. 이런 사항에 관한 충분조건을 찾는 문제는 쉽지 않은것 같다. 한 예로, "주어진 정수방정식의 해의 존재성에 대한 필요충분조건은 그 정수방정식을 임의의 양의 정수의 modulus에 대한 합돈방정식으로 보았을때 그 합동방정식의 해의 존재성이다" 는 일반적으로 성립하지 않는다. 이 논문은 그러한 정수방정식의 예를 들었다.

The connection between congruences and integral equations is based on the simple remark that if the equation. F(x₁, x₂, …, x?? )= 0 (1) where F is a polynomial with integral coefficients, has a soltion in integers, then the congruence F(x₁, x₂, …, x?? )= 0 (mod m) (2) is solvable for any value of the modulus m. Since the question of the solvability of a congruence can always be decided, we have a sequence of necessary conditions for the solvability of (1) in integers. The question of the sufficiency of these conditions is much more difficult. The assertion that "an integral equation is solvable in integers if and only if it is solvable as a congruence modulus any positive integer" is in general false. In this paper, we have such an integral equation.