외판원문제(TSP)를 위한 이슬방울 근사해법(DEW)

An Approximation Algorithm(DEW) for TSP

  외판원문제(TSP)는 최소비용을 가지는 해밀튼순환을 찾는 전형적인 조합최적화의 그래프문제이다. NP-complete군의 대표적 순서문제인 TSP는 오랫동안의 수많은 연구와 도전에도 불구하고 아직까지 완전히 풀리지 않은 채로 남아있다. TSP의 결정적인 난점은 {0,1}의 정수해를 보장하면서 동시에 부분순환(sub-tour)을 피해야 한다는 점이다. 그러나 부분순환을 방지하는 제약식을 추가하는 과정에서 폭발적으로 그 숫자가 늘어나 문제를 더욱 어렵게 하기 마련이다. 이 논문에서 우리는 이슬방울이 서로 합쳐지고 나누어지는 모습을 응용하여 현실적인 TSP의 해를 적절한 시간 내에 구하는 실용적인 알고리즘을 제안한다. 이러한 과정은 다음의 두 단계로 나누어 탐색한다. 첫째, 초기해를 만들기 위하여 가장 적은 연결비용의 마디를 하나씩 추가하여 국지적인 최소비용의 부분순환을 만들고, 다시 이 부분순환들을 연결하여 모든 마디가 포함된 전체순환(grand tour)을 형성할 때까지 반복한다. 둘째, 형성된 초기해에서 최소비용이 선택되지 않은 마디로부터 새로운 순환을 만들어 보다 나은 순환을 탐색한다. 또한 임의의 마디를 적절한 기준의 단위로 잘라내어 그 개선비용이 음수인 경우 다른 마디와 연결함으로서 새로운 순환을 만들어 해를 개선한다. 최적해가 알려진 TSPLIB에 우리의 알고리즘을 적용하여 그 결과를 비교하고 또한 무작위로 생성된 마디 200개까지의 TSP문제에 대하여 실험을 하였다. 대부분의 해는 최적해로부터 1% 이내의 결과를 50분 이내에 얻을 수 있었다. 우리의 방법은 실용적인 문제에 적용할 수 있을 것으로 판단한다.

  TSP(Traveling Salesman Problem) to find Hamiltonian cycle may be the most notorious villain in combinatorics. It has been a nagging NP-complete problem to test almost every algorithmic idea in combinatorial optimization in vain. The main bottleneck is how to get the integer results {0,1} and to avoid enormous sub-tours. We suggest simple and practical method. We consider the tiny dew drops forming a larger one step by step in natural way. Like other heuristic methods, our algorithm is presented in two steps. Firstly to get an initial solution, we make sub-tours on the nearest neighbour concept to produce the lowest combined cost. These sub-tours are to be checked for every node to make an initial grand tour. Secondly we improve the initial solution by exchanging 2 cuts in the grand tour. The node with nearest distance is to be inserted to form a increased feasible cycle again. The TSPLIB problems of which optimum were known, were tested. We got practical results within 1% from the optimum in 50 minutes for up to 200 nodes problems randomly generated. The TSP of real world might be tackled practically in a reasonable time by our formulation.