생태학 자료에 대한 계량형 다차원척도법 고찰

A Study of Metric Multidimensional Scaling for Ecology Data

본 연구에서는 유클리디안 거리에 기초한 계량형 다차원척도법(주축분석)의 일반적 성질을 다루었다. 특히 계량형 다차원척도법이 주성분분석 및 인자분석과 수리적으로 일치함을 살펴보았다. 또한, 준계량형 다차원척도법인 수량화 4법과의 차이를 비교하였다. 자료 분석에서는 생태학 자료의 출현 빈도 표에 대하여, 계량형 다차원척도에 의한 좌표값, 주성분 점수, 인자점수 그리고 수량화 4의 수량화 값을 계산하여 이들의 일치성 및 비례관계 등을 살펴보았다. 이론적 고찰과 자료분석을 통해, 거리행렬을 변환하여 얻은 -(HD²H )/2 행렬이 중심화한 자료 행렬의 교차곱 행렬 X_{c} X_{c} 으로 유도되며, 이의 고유치 분해로 얻어진 고유값들은 주축의 분산 크기를 나타내고 있음을 살펴보았다. 즉, 원 자료 없이 유클리디안 거리 행렬만 주어진 경우에도 계량형 다차원척도법을 통해 자료의 분산에 관한 정보를 파악할 수 있다는 점이다. 한편, 본 연구에서는 비계량형 다차원척도법은 고려하지 않았다.

In this study, we discussed the general properties of the metric multidimensional scaling based on Euclidean distance, say as principal coordination analysis. It is shown that metric multidimensional scaling is mathematically identical to principal component analysis and factor analysis. We also discussed the characteristics of the quantification 4 method, which is called a semi-metric multidimensional scaling. In the analysis of the frequency table of the ecological data, we consider the identity and the proportional relation among the principal coordinate values, the principal component scores, the factor scores, and the quantification 4 values. Through theoretical study and data analysis, it is shown that the -(HD²H )/2 matrix is derived as a centered cross product X_c X_c matrix, and the eigenvalues represents the variance of principal axis. On the other hand, in this paper, we did not consider the non-metric multidimensional scaling method.