심플렉스 공간상의 연산과 노옴

Operations and Norms on the Simplex Space

다양한 분야에서 구성비 데이터들이 발생되고 있음에도 불구하고 구성비 데이터가 위치하고 있는 심플렉스 공간상의 기본적인 연산과 크기 측도에 대한 연구는 거의 이루어져 있지 않다. 구성비 데이터의 분석을 위해 사용되는 방법들은 대부분 logratio 변환을 토대로 한 방법들로, 먼저 구성비 데이터를 유클리드 공간의 데이터로 변환시킨 뒤 표준적인 분석을 시도한다. 본 논문에서는 구성비 데이터를 변환을 통하지 않고 심플렉스 공간 자체에서 분석하기 위해 먼저 심플렉스 공간의 기본적인 연산을 정의하고 심플렉스 공간의 특수성과 기본적인 연산을 이용해 구성비 데이터의 중심에 대한 측도에 대해 살펴볼 것이다. 그리고 유클리드 공간에서 정의될 수 있는 상대적인 벡터의 크기 측도인 비 노옴에 대해 정의하고, 비 노옴의 특수한 경우로 합이 일정한 제약조건을 가지는 심플렉스 공간의 구성비 벡터의 크기의 측도로서 심플렉스 노옴을 정의하고 그의 성질을 밝힐 것이다.

Although many problems of interest in various fields are related with compositional data on the simplex space, there has been little effort to develop basic operations and norms on the space itself. The widely used logratio analysis converts, by the logarithms of ratios of compositions, the compositional data on the simplex space to the unconstrained data on the Eucleadian space, reformulate the underlying problem in terms of these logratio compositions, and make use, wherever possible, of standard multivariate statistical procedures. This study, in an effort to understand and analyze the compositional data directly on the simplex space, proposes some basic operations and norms on the simplex space, and investigates their properties.