n-렘니스케이트 곡선에 관한 연구

A Note on n-Lemniscate

본 연구는 한국과학창의재단 과학영재 창의연구(R&E)에서 수행한 연구 결과를 바탕으로 이루어졌다. 두 초점의 곱이 일정한 점의 자취는 어떻게 될지에 대해 의문을 가지게 되어 이에 대해 조사한 결과 베르누이 렘니스케이트 곡선이라는 것을 알게 되었다. 본 연구에서는 초점이 2개인 카시니 난형선과 렘니스케이트 곡선을 확장하여 n-렘니스케이트 곡선을 정의하고 n-렘니스케이트 곡선의 성질, n-렘니스케이트 곡선의 작도법에 대해 탐구하였다. 본 연구를 통하여 다음과 같은 연구 결과를 얻을 수 있었다. 첫 번째, n-렘니스케이트 곡선의 성질을 발견하였다. 복소평면에서 켤레끼리의 연산을 통해 n-렘니스케이트 곡선의 극방정식을 유도할 수 있었다. 또한 극방정식을 이용하여 n-렘니스케이트 곡선의 곡률 또한 일반화할 수 있었다. 두 번째, 임의의 자연수 n에 대하여 2^n-렘니스케이트 곡선의 작도법을 발견하였다. 2^n-1-렘니스케이트 곡선과 2^n-렘니스케이트 곡선 사이의 관계 및 2^n-1-렘니스케이트 곡선을 활용하여 2^n-렘니스케이트 곡선의 작도법을 발견 및 증명하였다. 마지막으로, 정n각형이 작도 불가능할 때 n-렘니스케이트 곡선이 작도 불가능함을 발견하였다. 정다각형의 작도 불가능성을 활용하여 정각형을 작도할 수 없을 때, n-렘니스케이트 곡선도 작도 불가능함을 발견하고 이를 논리적으로 증명하였다.

This study was based on the results of research conducted by the Korea Science Foundation Creative Research for Gifted Science (R&E). We wondered what would be the trace of a point where the product of the distances between the two focal points was constant. As a result of this investigation, we found that the multiplication of the distance between the two focal points was defined as the Cassini ovoid line and that the study was conducted. As we studied n-ellipse with n focus by extending a two-point ellipse, this study defines a n-focus Lemniscate curve as a n-Lemniscate curve by extending a two-focus Cassini ovoid line and a Lemniscate curve, and explores the nature of a n-Lemniscate curve, and the composition of a n-Lemniscate curve. In the course of research so far, the following results were obtained. First, the properties of the n-Lemniscate curve were found. The polar equation of the 4-Lemniscate curve was induced in anticipation of a simple diet if the pairs were operated in a complex plane. By extending this we were able to induce polar equation of n-Lemniscate curve. The curvature of the n-Lemniscate curve could also be generalized. Second, the composition method of the n-Lemniscate curve was found for any natural number n. The relationship between the 2^(n-1)-Lemniscate curve and the 2^n-Lemniscate curve was discovered and proved, and the composition method of the 2^n-Lemniscate curve was found and demonstrated using the 2^(n-1)-Lemniscate curve. Third, when it is impossible to make a composition of a regular n-angle, it was found that it is impossible to make a composition of the n-Lemniscate curve. When it was impossible to draw a regular n-angle using the impossibility of a regular polygon, it was logically demonstrated that the n-Lemniscate curve was not even possible to draw.