평행사변형의 내접 타원에 대한 연구

A Research on the Inscribed Ellipse of the Parallelogram

본 연구는 한국과학창의재단 과학영재 창의연구(R&E)에서 수행한 연구 결과를 바탕으로 이루어졌다. 박정현, 박경수, 조영민(2020)의 연구를 통해 삼각형 내부의 모든 점이 삼각형의 내접 타원의 초점이 될 수 있음을 알게 되었다. 그렇다면 평행사변형의 내접 타원의 초점은 어떤 점이 될 수 있을까?라는 의문점을 갖게 되었다. 본 연구에서는 박정현 외(2020)의 연구 방법을 확장하여 탐구를 진행하였다. 즉, 평행사변형의 각 변이 내접 타원의 접선이라는 아이디어를 적용하여 탐구를 진행하였다. 본 연구를 통해 다음과 같은 연구 결과를 얻을 수 있었다. 첫 번째, 평행사변형의 내접 타원의 초점이 될 수 있는 필요충분조건을 찾을 수 있었다. Geogebra 프로그램에서 타원에 외접하는 다양한 평행사변형을 그리고, 이들의 공통점을 찾음으로써 평행사변형의 내접 타원의 초점이 될 필요충분조건을 찾을 수 있었다. 두 번째, 네 변의 길이가 모두 같은 평행사변형인 마름모의 내접 타원의 초점이 될 수 있는 점은 마름모의 두 대각선을 이룸을 알 수 있었다. 이를 통해 정사각형 또한 내접 타원의 초점이 될 수 있는 점은 두 대각선 위에 있음을 알 수 있으며, 정사각형과 마름모의 내접 타원은 무수히 많이 존재함을 알 수 있었다. 세 번째, 마름모가 아닌 평행사변형의 내접 타원의 초점이 될 수 있는 점은 쌍곡선을 이룸을 알 수 있었다. 평행사변형의 각 중 90도 보다 크지 않은 각을 a라 하고, 평행사변형의 두 대각선의 교점을 원점이라 할 때, 내접 타원의 초점이 될 수 있는 점들은 표준형에서 원점을 중심으로 (45-a/2)도 만큼 회전한 쌍곡선을 이룸을 발견하였다. 이를 통해 마름모가 아닌 직사각형 및 평행사변형의 내접 타원 또한 무수히 많이 존재함을 알 수 있었다. 마지막으로 평행사변형의 내접 타원을 그리는 방법을 찾을 수 있었다. 본 연구 과정에서 발견한 평행사변형의 내접 타원의 초점이 이루는 곡선을 이용하여 평행사변형의 내접 타원을 그리는 방법을 찾을 수 있었다.

This study was based on the research results conducted as a R&E project for the gifted students with a financial support from the Korea Foundation for the Advancement of Science and Creativity. Through the research of Park, Park, & Cho (2020), it was found that all points inside the triangle can be the focal point of the inscribed ellipse of the triangle. Then, what could be the focus of the inscribed ellipse of the parallelogram? In this study, the research method of Park, et al (2020) was expanded to investigate. In other words, the research was conducted by applying the idea that each side of a parallelogram is a tangent of an inscribed ellipse. Through this study, the following research results were obtained. First, we found the necessity and sufficiency to become the focal point of the inscribed ellipse of the parallelogram. By drawing various parallelograms circumscribed to an ellipse in the Geogebra program and finding their common points, we found find the necessity and sufficiency to be the focal point of the inscribed ellipse of the parallelogram. Second, we found that the point which can be the focal point of the inscribed ellipse of a rhombus forms two diagonal lines of a rhombus. Third, we found that the point that can be the focal point of the inscribed ellipse of a parallelogram, not a rhombus, forms a hyperbolic curve. When the angle of the parallelogram that is not bigger than 90 degrees is called a, and if we choose the origin as a intersection of the two diagonals of the parallelogram, the points that can be the focal points of the inscribed ellipse form a hyperbolic curve rotated clockwise by (45-a/2) degrees in standard form around the origin. Through this, it can be seen that there are countless inscribed ellipses of rectangular and parallelogram shapes, and rhombus. Finally, I was able to find a way to draw an inscribed ellipse of a parallelogram. The method of drawing the inscribed ellipse of the parallelogram was found by using the curve formed by the focal point of the inscribed ellipse of the parallelogram.