다층 CES 소비자 모형의 닫힌 해에 대한 소고

A Note on the Closed-Form Solution of the Multi-Layer CES Consumer Model

개인의 선택 행위를 효용 최대화 또는 비용 최소화 문제로 나타내는 소비자 모형에서 효용 최대화는 시장수요(market demand) 모형, 그리고 비용 최소화는 보상수요(compensated demand) 모형이 된다. 소비자 모형에서 CES 효용함수의 장점은 대체탄력성의 일반성과 다층(multi-layer)으로의 확장이 자연스러운 것이다. 단점은 수요함수의 닫힌 해(closed-form solution)를 유도하는 데 길고 복잡한 계산이 필요한 것이다. 다층 CES 효용함수에서 수요함수의 닫힌 해를 유도하는 것은 복잡성의 기하급수적 증가로 거의 불가능에 가깝다. 소비자 모형에는 지출함수의 ‘편미분’으로 보상수요를 유도하는 Shephard 보조정리가 있다. 그러나 시장수요에는 그러한 편리한 도구가 없다. 본고는 CES 함수의 선형동차성과 시장수요와 보상수요 간의 기본적 쌍대이론을 이용하여 지출함수의 ‘대수편미분’으로 시장수요가 유도되는 것을 간명하게 보였다.

The advantages of the CES utility function in the consumer model are the generality of elasticity of substitution and the natural extension to multi-layer CES. The disadvantage is that complex calculations are required to derive a closed-form solution of the demand functions. Deriving a closed solution of the demand function from the multi-layer CES model is almost impossible due to the exponential increase in complexity. In the consumer model, there is Shep-hard’s lemma, which induces the compensated demand by the ’partial differen-tiation’ of the expenditure function. However, there is no such convenient tool for the market demand. This paper showed that market demand is induced by the ‘logarithmic partial differentiation’ of the expenditure function using the linear homogeneity of the CES function and the basic duality theory between market demand and compensated demand. This is essential for a multi-layer CES model that needs to solve both the compensated demand and the market demand simul-taneously.