3, 5, 7, 11의 배수가 아닌 홀수 완전수의 소인수의 지수의 합에 대한 연구

Research on the Total Number of Prime Factors of Odd Perfect Numbers not dividing 3, 5, 7, and 11

N이 홀수 완전수일 때 Ω(N)을 N을 소인수분해 했을 때 소인수의 지수의 합이라 하자. Hare (2007)에서 3, 5, 7, 11을 약수로 갖지 않는 홀수 완전수 N에 대해 Ω(N) ≥ 81을 증명하였다. 이 논문에서는 Hare (2007)에서 쓰인 아이디어를 개선하여 3, 5, 7, 11을 약수로 갖지 않는 홀수 완전수 N에 대해 Ω(N)≥ 117임을 보였다. 참고로 최근에 Ochem 외(2012)에서 모든 홀수완전수 N에 대해 Ω(N) ≥ 101임을 보였다.

Let N be an odd perfect number and Ω(N) be the total number of prime factors of N (counting multiplicities). Hare(2007) proved that if an odd perfect number N satisfies 3∤N, 5∤N, 7∤N, and 11∤N, then Ω(N)≥ 81. We improve the method used in Hare(2007) and prove that Ω(N) ≥ 117 for an odd perfect number N satisfying 3∤N, 5∤N, 7∤N, and 11∤N. Note that Ochem and Rao(2012) proved that Ω(N) ≥ 101 for any odd perfect number N using a different method.