금속비의 확장 가능성에 관한 연구

A Study on the Possibility of Expanding the Metallic Mean

금속비는 x-1/x=n 또는 x^2-nx=1의 양의 실근으로 정의된다. 이들 금속비가 가장 많이 활용되는 주제 중 하나는 비주기적 타일링으로 펜로즈 타일링, Ammann-Beenker 타일링 등이 있다. 이 중 펜로즈 타일링은 3차원 입체도형으로도 확장이 되어있다. 금속비가 활용되는 주제 중에는 입체도형도 있는데, 다양한 정다면체, 준정다면체, 카탈랑 다면체에서 황금비와 백은비가 나타난다. 본 연구는 금속비에 대한 선행 연구들을 연구 방법과 활용 분야별로 3가지 유형으로 분류하면서 3차원의 펜로즈 타일링이 4차원으로 확장 가능 여부를 확인하고 4차원 이상의 고차원의 도형에서도 황금비와 백은비가 나타나는지를 탐색하였다. 그 결과 4차원 펜로즈 타일링은 특정 조건 아래에서 존재하지 않음을 밝혔다. 또한 3차원 정다면체와 그것의 변형 다면체 또는 4차원 정다포체와 그것의 변형 다포체에서 나타나는 황금비와 백은비의 관계는 5차원 이상의 정다포체와 그것의 변형 다포체에서는 나타날 수 없음을 확인하였다.

The metallic means are defined as the only positive real roots of x-1/x=n or x^2-nx=1. One of the most prominent applications of the metallic means is known as aperiodic tilings, such as the Penrose tiling or the Ammann-Beenker tiling. The Penrose tiling is already generalized to 3-dimensions as well. Another application of metallic means is on polyhedra : the golden ratio and silver ratio appear in various regular, Archimedean, and Catalan solids as well. This study categorizes previous studies on metallic means by the method of research, confirms whether the 3D Penrose tiling can be generalized to 4D figures, and verifies whether the golden ratio and silver ratio appear even in n-dimensional figures. As a result, it was revealed that the 4D Penrose tiling does not exist under certain conditions. Also, it was confirmed that the golden ratio and silver ratio could not appear in regular and semiregular polytopes in 5 dimensions or higher.