사각형의 슈타이너 내접 타원과 마든의 정리에 대한 연구

A Study on the Steiner Inellipse and Marden’s Theorem of Quadrilaterals

본 연구는 한국과학창의재단 과학영재 창의연구(R&E)에서 수행한 연구 결과를 바탕으로 이루어졌다. 삼각형에서 정의되는 슈타이너 내접 타원은 내접 타원 중 최대의 넓이를 가지고, 슈타이너 내접 타원과 삼각형의 넓이는 일정한 비를 가진다. 또한 슈타이너 내접 타원은 마든의 정리를 만족시킨다. 본 연구에서는 삼각형에서 정의되는 슈타이너 내접 타원을 사각형으로 확장하여 사각형의 슈타이너 내접 타원의 존재성 및 성질, 사각형의 마든의 정리의 성립 유무 등에 대해 탐구하였다. 본 연구를 통해 다음과 같은 연구 결과를 얻을 수 있었다. 첫 번째, 사각형의 슈타이너 내접 타원이 존재하는 사각형은 평행사변형임을 발견하였다. 두 번째, 사각형의 슈타이너 내접 타원이 사각형의 내접 타원 중 최대의 넓이를 가짐을 발견하였다. 또한, 사각형의 슈타이너 내접 타원의 넓이와 사각형의 넓이 사이에는 일정한 비가 성립함을 발견하였다. 세 번째, 사각형의 마든의 정리가 성립함을 발견하였다. 즉, 사각형의 네 꼭짓점과 사각형의 슈타이너 내접 타원의 두 초점 사이의 관계를 발견하였다. 네 번째, 사각형의 슈타이너 내접 타원을 그리는 방법을 발견하였다. 본 연구에서는 삼각형에서 정의되는 슈타이너 내접 타원을 사각형으로 확장하였다. 이렇듯 수학적 개념을 확장한다는 측면에서 수학의 발전에 기여할 수 있을 것이라 기대한다. 또한 본 연구를 통해 슈타이너 내접 타원의 확장에 대한 연구가 활발히 진행될 것이라 기대한다.

This study was based on the research results conducted as a R&E project for the gifted students with a financial support from the Korea Foundation for the Advancement of Science and Creativity. A Steiner inellipse, defined in a triangle, is the maximum-area inellipse of the triangle, and the ratio of the area of the triangle and its Steiner inellipse is constant. Also, the Steiner inellipse satisfies Marden’s theorem. In this study, we expanded the Steiner inellipse, which was defined in triangles, to a quadrilateral and researched its existence and properties—along with the absence of Marden’s Theorem. Through this study, the following results were obtained. First, we found that a quadrilateral in which its Steiner inellipse exists is a parallelogram. Second, we discovered that the Steiner inellipse of a quadrilateral is the maximum-area inellipse of the quadrilateral. Thus, we proved that there was a constant ratio between the area of the Steiner inellipse and the area of the quadrilateral. Third, we showed that Marden’s theorem of quadrilaterals holds. That is, the relationship between the four vertices of the quadrilateral and the two focal points of the Steiner inellipse was found. Fourth, we unveiled a method of drawing the Steiner inellipse of a given quadrilateral. It is expected to contribute to the development of mathematics by expanding mathematical concepts just as we expanded the Steiner inellipse—which was only defined in triangles—to quadrilaterals. In addition, it is expected that further research on the expansion of the Steiner inellipse will be actively carried out through this study.