매듭사영의 BLL 그래프의 정의와 그 응용에 대한 연구

Research on Definition of BLL Graphs of Knot Diagrams and its Applications

이 연구는 위상수학의 한 분야인 매듭이론에 관한 연구이다. 매듭은 3차원 공간 안에 단순닫힌곡선이고 공간 안의 한 평면으로의 사영을 매듭사영이라 한다. 이 연구의 결과로써 매듭사영의 호들 간의 관계를 나타내는 양방향 선형 고리 그래프인 매듭사영에 대한 BLL그래프를 정의하고 그 성질을 탐구했다. 그리고 BLL 그래프의 한붓그리기와 매듭사영의 한붓그리기 가능성을 정의하고 BLL 그래프를 이용하여 교차점에서 위·아래가 교대로 나타나는 교대 매듭사영에 대한 동치명제들을 얻어냈다. 즉 매듭사영이 교대 매듭사영일 필요충분조건은 다음과 같다: (1) 대응하는 BLL 그래프의 모든 꼭짓점의 외차수가 2이다. (2) 대응하는 BLL 그래프가 한붓그리기 가능하다. (3) 매듭사영이 한붓그리기 가능하다. 이러한 결과들을 바탕으로 교차를 변형시켜 새로운 교대 매듭사영에 대응시키는 연산, 매듭사영의 삼색 가능성 판별, 매듭사영의 다항식 등을 BLL 그래프를 통해 분석하는 등의 추후 연구주제를 제안하였다.

This paper is the research on the Knot theory in Topology. A knot is a simple closed curve in ℝ and its projection onto a plane in ℝ is called a knot projection. As the results of this paper we define a BLL(Bidirectional Linear Link) graph for a knot projection which is a bidirectional linear link representing the relations between arcs of a knot projection and obtain some properties of the BLL graphs. We also define an Eulerian cycle of the BLL graph and an Eulerian cycle of a knot projection. As the main results of this paper, we obtain the equivalent conditions of being an alternation knot projection as follows: (1) an out-degree of every vertex of the corresponding BLL graph is 2; (2) the corresponding BLL graph has an Eulerian cycle; (3) the knot projection has an Eulerian cycle. As the subsequent study, using these results of the BLL graphs, we propose the analysis on the BLL graphs for deformation operation obtaining a new alternating knot projection, decision on the tricolorability of a knot projection, and a polynomial of a knot projection.