수직선 및 수체계, 실수의 성질 의미와 관계에 대한 중학생의 오류와 그 오류 사이의 관계

Middle school students' errors and its relationship on the concept of number line, number system, and the properties of real numbers

목적 학생들이 수직선 및 수체계 의미와 관계를 설명할 때의 오류와 실수의 성질 중 완비성을 설명하는 과정에서 오류 유형을 각각 살펴보고, 그 오류 사이에 어떤 연결 관계가 있는지 탐구하고자 한다. 방법 연구를 위해 중학교 3학년 학생 12명을 모집하여 관련 문항을 해결하게 하고 반구조화 인터뷰를 진행하였다. 그리고 학생들의 답변을 교과서 및 지도서와 비교하여 오류를 재구성한 분석틀에 따라 분류하여 수직선 및 수체계, 실수의 성질 의미와 관계에 관한 오류와 그 오류 사이의 연결에서의 특징을 살펴보았다. 결과 수직선과 수의 표상, 수체계 의미와 그 관계, 수의 표현과 수체계 관계에 관한 오류는 완비성을 설명하는 과정에서 정의나 정리의 부적절한 사용으로 연결되었다. 무리수의 수직선 위 대응 방법, 무리수의 수직선 위 대응의 불가능에 대한 오류는 완비성을 설명하는 과정에서 논리적으로 부적절한 추론으로 연결되었다. 그러나 완비성을 설명하는 과정에서 일부 오류 유형은 학생들이 기존에 지니고 있던 수직선과 수체계 관련 오류와는 무관하게 나타나기도 하였다. 결론 연구 결과를 통해 수직선 확대와 관련된 연결고리 제시, 분수와 소수 등의 수의 표현과 수체계 간 구분 강조, 수직선 위 구간에서 양 끝점의 다양한 제시, 무리수의 과정과 대상 관점의 자유로운 전환 등의 필요성을 통해 교과서 서술 방향과 교사의 교수학적 처치에 관한 시사점을 도출하였다.

Objectives This study explores middle school students' errors in explaining the concept of the number line, number system, and completeness among the properties of real numbers. Furthermore, it aims to explore the relationship between each error. Methods To conduct this study, 12 middle school students were recruited and interviewed. The students' responses were analyzed and compared with textbooks and tutorials. Through this analysis, the connection between errors in the number line and number system, and the meaning and relationship of the properties of real numbers was examined. Results As a result, errors in number representation and number systems were found to be linked to improper use of definitions or theorems in explaining completeness. Additionally, errors in the method of mapping irrational numbers on the number line, and the belief that it is impossible to map irrational numbers on the number line were linked to logically improper reasoning in explaining completeness. Conclusions To address these errors, the study suggests three implications for the direction of textbook narrative and teachers' pedagogical methods. First, it is necessary to present a link that shows that the number line can be enlarged. Second, the distinction between fractions, decimals, and number systems should be emphasized. Third, it is necessary to present various endpoints in the section on the number line, and a method to freely change the perspective of potential and actual infinity. Based on these results, the study derives implications for the direction of textbook narrative and teachers' pedagogical methods.