수학화 교수학습을 위한 교수단원 디자인 연구

A Study on the Design of Teaching Units for Teaching and Learning of Secondary Preservice Teachers' Mathematising: Reinvention of Bretschneider's Formula

이 연구에서는 브레트슈나이더 공식의 재발명을 소재로, 예비교사용 수학화 교수단원 <사각형의 넓이>를 디자인하고 있다. 이 교수단원에서는 학교수학에서 이미 학습한 직사각형, 정사각형, 마름모, 평행사변형, 사다리꼴의 구적 공식을 현상으로 제시하고, 그것을 통합하는 구적 공식인 브레트슈나이더의 공식을 재발명하도록 안내하고 있다. 이 과정에서 원래의 현상을 축소하여, 원에 내접하는 사각형의 구적 공식을 통합하는 브라마굽타의 공식을 먼저 재발명하고, 이어 그것을 바탕으로 브레트슈나이더의 공식을 재발명하도록 안내하고 있다. 특히 이 교수단원에서는 헤론의 공식을 통해 그러한 재발명의 동기를 제공하고 있다. 예비교사들이 이 교수단원을 통해 얻을 수 있는 것을 결론으로 제시하면 다음과 같다. 첫째, 예비교사들은 현상을 조직하는 본질을 발명하는 수학화를 경험할 수 있다. 예비교사들은 그들이 정말로 수학을 발명하는 것처럼, 브라마굽타의 공식과 브레트슈나이더 공식을 발명하는 경험을 할 수 있다. 둘째, 예비교사들은 수학 지식 발명의 한 가지 메커니즘을 이해할 수 있다. 예비교사들은 브라마굽타 공식과 브레트슈나이더 공식을 재발명하면서, 새로운 수학 지식이 이미 잘 알고 있는 수학 지식으로부터 유추를 통해 발명되는 메커니즘을 이해할 수 있다. 셋째, 예비교사들은 학교수학과 학문 수학의 연결을 이해할 수 있다. 예비교사들은 직사각형, 정사각형, 마름모, 평행사변형, 사다리꼴의 구적 공식과 헤론의 공식과 같은 학교수학이 학문 수학이라 할 수 있는 브라마굽타의 공식과 브레트슈나이더 공식 사이의 관계를 통해, 학교수학과 학문 수학이 어떻게 연결될 수 있는지 알 수 있다. 이 연구에서 디자인한 교수단원 <사각형의 넓이>는 실제로 적용가능한 것이지만, 이 연구에서는 그것을 예비교사들에게 실제로 적용한 결과를 제시하지는 않았다. 그런 만큼 이 교수단원은 실제 적용을 통해 더 수정되고 보완될 수 있을 것이다. 이 연구에서는 예비교사들을 대상으로 하고 있지만, 브레트슈나이더 공식의 재발명이 예비교사들에게만 적절한 수학화 소재는 아니다. 헤론의 공식을 잘 아는 중고등학교 학생들에게도 충분히 적절한 수학화 소재가 될 수 있다. 물론 그 경우에는 교수단원에서 훨씬 더 친절한 안내를 하는 것이 필요할 것이다. 이 연구에서는 일반적으로 학교수학에서 헤론의 공식을 적극적으로 취급하지는 않는다고 보아, 예비교사를 대상으로 한 것이다.

In this study, a teaching units <The area of quadrangle> for teaching and learning of secondary preservice teachers' mathematising is designed, focusing on reinvention of Bretschneider's formula. preservice teachers can obtain the following through this teaching units. First, preservice teachers can experience mathematising which invent a noumenon which organize a phenomenon, They can make an experience to invent Bretscheider's formula as if they invent mathematics really. Second, preservice teachers can understand one of the mechanisms of mathematics knowledge invention. As they reinvent Brahmagupta's formula and Bretschneider's formula, they understand a mechanism that new knowledge is invented fron already known knowledge by analogy. Third, preservice teachers can understand connection between school mathematics and academic mathematics. They can undestand how the school mathematics can connect academic mathematics, through the relation between the school mathematics like formulas for calculating areas of rectangle, square, rhombus, parallelogram, trapezoid and Heron's formula, and academic mathematics like Brahmagupta's formula and Bretschneider's formula.