예비교사들은 0.99…<1라는 주장을 어떻게 반박하는가?

How Do Pre-Service Teachers Disprove 0.99…<1?

이 연구는 예비교사들이 0.99…가 1보다 작다는 주장을 어떻게 반박하는지를 관찰함으로서 왜 0.99…=1가 참이라고 정당화하는지를 분석하였다. 일부 예비교사는 1-0.99…의 값을 무한소라고 생각하고 있었다. 표준 실수의 입장에서 1-0.99…의 값은 무한소가 아닌 0이라고 생각했던 예비교사들도 이것을 실수에 대한 가정으로부터의 논리적 결론으로 정당화하기보다는 유한과 무한은 다르다는 직관적 정당화에 안주하였다. 예비교사들이 0.99…<1의 반박에서 드러낸 인식의 한계는, 표준 실수 체계만이 수학적으로 옳은 유일한 수체계라는 믿음과 무관하지 않다. 0.99…<1이지만 표준 실수체계와 마찬가지로 무모순인 비표준 실수체계가 존재한다는 사실은, 평범한 중학생이 제기하는 0.99…가 1이냐 아니냐의 질문도 학교수학 수준의 상식적 설명 혹은 예비교사들의 직관적인 정당화만으로는 대답할 수 없는 것임을 보여주고 있다.

This paper analyzed pre-service teachers’ justification of 0.99…=1 from their disproof of 0.99…<1. Some pre-service teachers thought of the difference between 0.99… and 1 as an infinitesimal. On the contrary, the others claimed that the difference between 0.99… and 1 was zero as the standard real, but were content with their intuitive justifications. The pre-service teachers’ limitation revealed in the process of disproving 0.99…<1 can be closely related to the orthodox view: the standard real number system is the only absolutely true number system. The existence of nonstandard real number system in which 0.99… is less than 1, shows that the plain question of whether or not 0.99… equals 1, cannot be properly answered by common explanations of textbooks or teachers’ intuitive justification.