볼록 사각형의 Siebeck-Marden의 정리에 대한 연구

A Study on Siebeck-Marden’s Theorem of Convex Quadrilaterals

본 연구는 한국과학창의재단 과학영재 창의연구(R&E)에서 수행한 연구 결과를 바탕으로 이루어졌다. 본 연구에서는 삼각형에서 성립하는 Siebeck-Marden의정리를 확장하여 볼록 사각형의 Siebeck-Marden의 정리를 정의하고 이에 대해 탐구하였다. 본 연구를 통해다음과 같은 연구 결과를 얻을 수 있었다. 첫 번째, 평행사변형의 내접 타원이 각 변을 분할하는 비를 발견하고 이를 증명하였다. 두 번째, 방접 타원에 대한 삼각형의 Siebeck-Marden의 정리를 발견하였다. 즉, 삼각형의방접 타원의 두 초점의 위치와 관련된 삼각형의Siebeck-Marden의 정리를 발견하고 이를 증명하였다. 세 번째, 임의의 볼록 사각형의 Siebeck-Marden의 정리를 정의하고 이를 증명하였다. 즉, 볼록 사각형의 내접 타원의 두 초점의 위치와 관련된 볼록 사각형의Siebeck-Marden의 정리를 정의하였으며 이를 방접 타원, 타원과 평행사변형의 기하적 성질 등을 이용하여논리적으로 증명하였다. 본 연구에서는 삼각형의Siebeck-Marden의 정리를 볼록 사각형으로 확장하였다. 이렇듯 수학적 개념 및 성질을 더 넓은 영역으로 확장해 나가는 것은 수학의 발전에 기여할 것이라 기대한다. 본 연구의 결과를 통해 볼록 사각형의 내접 타원에대한 연구가 활발히 진행되길 기대한다.

This study was based on the research results conducted as an R&E project for gifted students with financial support from the Korea Foundation for the Advancement of Science and Creativity. In this study, we extended Siebeck-Marden’s Theorem, which holds for triangles, into arbitrary convex quadrilaterals. Through this study, the following results were obtained. First, we found and proved the ratio in which the inellipse of a parallelogram divides each side. Second, we discovered Siebeck-Marden’s Theorem for exellipses. We discovered Siebeck-Marden’s Theorem regarding the location of the foci of an exellipse of a triangle. Third, we defined and proved Siebeck-Marden’s Theorem of arbitrary convex quadrilaterals. We defined Siebeck-Marden’s Theorem regarding the location of the foci of an inellipse of an arbitrary convex quadrilateral. In this study, we extended Siebeck-Marden’s Theorem from triangles to convex quadrilaterals. It is expected to contribute to the development of mathematics by enhancing mathematical concepts and properties, just as we extended Siebeck-Marden’s Theorem to arbitrary convex quadrilaterals. Furthermore, this study is expected to encourage further research on the inellipse of convex quadrilaterals.