릴의 방법과 지오지브라, 파이썬을 이용한 다항방정식 풀이

Solving Polynomial Equations Using Lill’s Method and Geogebra, Python

대수학의 주요 문제는 차수가 이상인 다항방정식의 근의 공식을 찾는 것이었고 Abel과 Ruffini에 의해 근의 공식이 없음이 증명되었다. Lill은 대수적 방법이 아닌 기하적 방법으로 다항방정식의 근을 탐구하여 Lill의 방법인 ‘Graphical method’를 개발하였다. 임의의 다항방정식을 해결하기 위해선 ‘Graphical method’의 특정한 조건을 만족해야 하지만, Lill은 이에 대한 구체적인 방법은 제시하지 않았다. Beloch는 이차, 삼차 방정식을 Lill의 방법으로 표현한 후, 종이접기로 특정한 조건을만족하는 방법을 발견하였다. 하지만 차수가 이상인 경우에는 종이접기로 해결하려면 여러 조건을 동시에 만족해야 하기에 임의의 다항방정식의 근을 해결하는 연구는 없었다. 따라서 본 연구는 다음과 같은 연구문제를 선정하였다. 첫째, 이차, 삼차 방정식을 Lill의 방법과 Geogebra와 Python으로 자동으로 해결하는 프로그램을 개발한다. 둘째, 차수가 이상인 임의의 다항방정식을 Lill의 방법과 Python으로 자동으로 해결하는 프로그램을 개발한다. 연구 결과 Geogebra를 이용하여 이차, 삼차방정식의 경로를 수동적으로 발견하였고, Python으로 자동적으로 발견하여 해결하는 프로그램을 개발할 수 있었다. 차수가 이상인 임의의 차 다항방정식의 경로를 구하기 위해 Pygame 라이브러리의 객체 지향적 프로그래밍을 활용해 해결하였다. 임의의 다항방정식의 근을 근사적으로 구하는 과정을 시각화하고 대수적 방법이 아닌 기하적 방법으로 접근하였으며, 임의의 다항방정식을 일반화하여 해결하는 프로그램을 개발한 점에서 연구 의의를 찾을 수 있다.

A major problem in algebra was to find a formula for the roots of polynomial equations of degree 5 or more, and it was proved by Abel and Ruffini that there was no formula for the roots. Lill developed the ‘graphical method’ by exploring the roots of polynomial equations using a geometric method rather than an algebraic method. To solve arbitrary polynomial equations, certain conditions of the ‘graphical method’ must be satisfied, but Lill did not provide a specific method for this. Beloch expressed quadratic and cubic equations using Lill's method and then discovered a method of satisfying specific conditions using origami. However, when the degree is 4 or more, several conditions must be satisfied simultaneously to solve it with origami, so there has been no research on solving the roots of arbitrary polynomial equations. Therefore, this study selected the following research questions. First, we develop a program that automatically solves quadratic and cubic equations using Lill's method, geogebra, and python. Second, we develop a program that automatically solves arbitrary polynomial equations of degree 4 or higher using Lill's method and python. As a result of the study, we were able to manually find the paths of quadratic and cubic equations using Geogebra and automatically find them using Python and develop a program to solve them using Lill's method. To find the path of an arbitrary nth degree polynomial equation of degree 4 or higher, we used object-oriented programming from the Pygame library to solve it. The significance of this research is that it visualizes the process of approximating the roots of an arbitrary polynomial equation, approaches it with a geometric method rather than an algebraic method, and develops a program to solve arbitrary polynomial equations in a generalized way.