이산확률분포의 표본 분위수 계산 방법에 관한 연구

A Study on Computing Sample Quantiles of Discrete Probability Distributions

본 논문에서는 이산확률분포의 경우에 표본 분위수를 계산하는 방법에 관하여 고찰하였다. 통계학 교재에서 주로 소개하는 두 가지 방법이 통일되어 있지 않으므로 실용적 및 교육적 측면의 필요성에서 모의실험을 통하여 이 두 방법을 비교하였다. 포아송분포, 이항분포, 기하분포, 음이항분포, 이산균등분포에 대해 모수의 값을 몇 가지로 설정한 다음, 설정된 각각의 분포에 대해 크기 20과 50의 확률표본을 추출하고 두 가지 방법에 의해 표본 분위수들을 계산하는 모의실험을 10,000회씩 실행하였다. 각 회의 모의실험마다 두 가지 방법 각각을 사용하여 계산된 표본 분위수와 모집단 분위수 간의 차이를 계산하였으며, 이를 바탕으로 두 가지의 기준에 의해 두 방법을 비교하였다. 두 기준 중 하나는 10,000회의 모의실험에 걸친 평균제곱오차이며, 다른 하나는 10,000회의 모의실험 중 모집단 분위수에 상대 방법보다 더 가까운 표본 분위수를 얻은 횟수이다. 또한 모집단 분위수를 정확히 추정할 확률의 추정값을 두 방법에 대해 구하였으며, 과소추정, 정확추정, 과대추정의 확률분포에 관한 두 방법 간 동질성검정을 실시하였다.

In this paper, we studied the methods of computing sample quantiles for the case of discrete probability distributions. There are two main methods which are introduced in statistics textbooks. We compared these two methods by simulation from practical and educational necessity. We considered some cases of Poisson, binomial, geometric, negative binomial, and discrete uniform distributions by setting up the parameters, and for each distribution we performed 10,000 times of simulation of drawing random samples of size 20 and 50. At each time of simulation, we computed the difference between the population quantile and the sample quantile obtained by each method. We compared the two methods by using two criteria: one is the mean square error over 10,000 times of simulation, and the other is the frequency of obtaining closer sample quantile to the population quantile than the competing method. We also obtained the estimated probabilities of exact estimation of population quantiles for the two methods, and performed the tests of homogeneity on the probability distribution of under-estimation, exact estimation, and over-estimation of the population quantiles.