직관주의 수학 및 고전 수학 관점에 따른 교과서의 귀류법 증명에서 무리수 √2의 존재성 문제

The Problem about the Existence of an Irrational Number √2 in the Examples of the Proof by Contradiction in the Textbooks according to the Perspective of Intuitionistic Mathematics versus Classical Mathematics: ‘√2 is Not a Rational Number’ versus ‘√2 is an Irrational Number’

고전 수학과 거리를 두었던 직관주의 수학 철학은 수학교육 분야에서 논의되어 온 구성주의처럼 수학적 대상이 인간의 마음에 의해구성된다는 관점을 취한다. 본 논문은 직관주의 수학 철학의 주요 쟁점에 대한 논의를 기반으로 학교수학의 내용을 분석하고 교육적시사점을 얻는 것을 목적으로 한다. 특히, 직관주의 수학과 고전 수학의 차이가 잘 드러날 수 있는 귀류법이 학교수학에서도 다루어진다. 그리고 교과서의 대표적인 귀류법 증명 명제의 표현들 중 ‘√2는 유리수가 아니다’에는 ‘√2는 무리수이다’와 대조적으로 √2의 무리수로서의 존재성에 대한 언급이 회피되어 있다. 이러한 배경에서, 직관주의 수학 철학의 쟁점을 수학적 대상의 존재성을 중심으로 살펴보고, 이에 기반하여 교과서의 √2관련 귀류법 증명들을 무리수 √2의 존재성 측면에서 분석한다. 이러한 분석을 통해 √2의 무리수로서의 존재성을 긍정하지 않고 회피하는 것에 그치는 표현과 증명에는 직관주의 수학의 관점이 스며들어 있음을알 수 있었다. 이상을 바탕으로 학교수학에서 가능한 수학적 대상의 존재성에 대한 성찰과 인문적 측면에서의 수학의 교육적 가치에대해 논의하였다.

Intuitionistic mathematics philosophy, which distanced itself from classical mathematics, takes the view that mathematical objects are constructed by the human mind, like constructivism, which has been discussed in mathematics education. This paper aims to analyze the content of school mathematics and obtain educational implications based on a discussion of central issues in intuitionistic mathematics. Concerning the proof by contradiction, which can reveal the difference between intuitionistic mathematics and classical mathematics, among the expressions of the proposition presented as an example of the proof by contradiction in textbooks, in ‘√2 is not a rational number’, contrast to ‘√2 is an irrational number’, avoided a mention about its existence as an irrational number. With this background, we examined the issues of intuitionistic mathematical philosophy, focusing on the existence of mathematical objects, and based on this, we analyzed the textbook's related proofs by contradiction in terms of the existence of √2 as an irrational number. This analysis found that the perspective of intuitionistic mathematics permeates the expression and the proof which do not mention and avoid the existence of √2 as an irrational number. Based on the above, we discussed the reflection on the existence of mathematical objects in school mathematics and the educational value of mathematics from a humanistic aspect.