볼록 사각형의 Expansion Mandart Inellipse에 대한 연구

A Study of the Expansion Mandart Inellipse of Convex Quadrilaterals

본 연구는 한국과학창의재단 과학영재 창의연구(R&E)에서 수행한 연구 결과를 바탕으로 이루어졌다. 본 연구에서는 삼각형의 Expansion Mandart Inellipse와볼록 사각형의 방접 타원의 개념을 결합하여 볼록 사각형의 Expansion Mandart Inellipse를 정의하였으며, 볼록 사각형의 Expansion Mandart Inellipse의 다양한 기하적 성질을 밝혔다. 본 연구를 통해 다음과 같은 결과를 얻을 수 있었다. 첫 번째, 볼록 사각형의 Expansion Mandart Inellipse가 존재할 필요충분조건은 볼록 사각형이 평행사변형인 것임을 밝혔다. 두 번째, 분할비에따른 평행사변형의 내접 타원의 넓이 공식을 밝혔다. 세 번째, 볼록 사각형의 내접 타원과 그 타원에 대한Expansion Mandart Inellipse의 넓이가 서로 같음을 밝혔다. 네 번째, 평행사변형의 내접 타원과 그 내접 타원에 대한 Expansion Mandart Inellipse가 만나는 네 점은평행사변형의 마주보는 대변의 중점을 연결한 선분들위에 있음을 밝혔다. 다섯 번째, 평행사변형의 내접 타원과 그 내접 타원에 대한 Expansion Mandart Inellipse 가 만나는 네 점을 꼭짓점으로 하는 사각형은 평행사변형의 중점 사각형과 서로 닮음이고, 평행사변형의 두대각선의 교점이 닮음의 중심임을 밝혔다. 여섯 번째, 평행사변형과 평행사변형의 내접 타원이 만나는 점들을꼭짓점으로 하는 사각형이 평행사변형의 내접 타원과그 내접 타원에 대한 Expansion Mandart Inellipse가 만나는 네 점을 꼭짓점으로 하는 사각형과 넓이가 서로같음을 밝혔다. 일곱 번째, 평행사변형의 내접 타원의작도 방법을 발견하였다. 본 연구와 같이 기존의 수학적 개념을 확장하는 활동은 수학의 발전에 기여할 것이라 기대한다.

This study was based on the research results conducted as an R&E project for gifted students with financial support from the Korea Foundation for the Advancement of Science and Creativity. This study defines the Expansion Mandart Inellipse of a convex quadrilateral by combining the concept of the Expansion Mandart Inellipse of a triangle with the idea of a circumscribed ellipse of a convex quadrilateral. Additionally, it explores various geometric properties of the Expansion Mandart Inellipse of a convex quadrilateral. The results of this study are as follows: First, it was shown that a necessary and sufficient condition for the existence of the Expansion Mandart Inellipse of a convex quadrilateral is that the quadrilateral must be a parallelogram. Second, the formula for the area of the inscribed ellipse of a parallelogram, based on the division ratio, was derived. Third, it was demonstrated that the areas of the inscribed ellipse of a convex quadrilateral and its corresponding Expansion Mandart Inellipse are equal. Fourth, it was revealed that the four points where the inscribed ellipse of a parallelogram and the Expansion Mandart Inellipse meet lie on the line segments connecting the midpoints of the opposite sides of the parallelogram. Fifth, the quadrilateral formed by the four intersection points of the inscribed ellipse of a parallelogram and its Expansion Mandart Inellipse is similar to the midpoint quadrilateral of the parallelogram, with the intersection of the diagonals of the parallelogram serving as the center of similarity. Sixth, it was shown that the quadrilateral formed by the points of tangency between the parallelogram and its inscribed ellipse has the same area as the quadrilateral formed by the four intersection points of the inscribed ellipse and its Expansion Mandart Inellipse. Finally, a construction method for the inscribed ellipse of a parallelogram was discovered. This study demonstrates that activities extending existing mathematical concepts, as exemplified by this work, can contribute to the advancement of mathematics.