함수적 접근에 따른 정적분 개념 이해

Understanding the Concept of the Definite Integral through a Functional Approach

본 연구는 함수적 접근에 따라 학생들이 정적분을 리만 합과 리만 합의 극한으로 사고하는 특징을 분석하였다. 연구는 12차시에 걸쳐 설계실험으로 진행되었며, 자유낙하하는 공의 높이를 시간에 따라 구성하는 과제로 학생 활동이 이루어졌다. 실험 결과 학생들은 분할을 변화량으로 인식하고, 변화량을 누적하면서 공의 높이를 리만 합으로 구성하였다. 또한 누적으로부터 연속추론을 통해 공의 높이를 리만 합의 극한으로 표현하였다. 이를 통해 함수적 접근에 따른 정적분의 개념 형성은 ‘분할과 변화량’ ➜ ‘변화에 대한 이해’ ‘누적’ ➜ ‘극한’으로 사고 흐름이 이루어지며, 함수적 사고에서 발생하는 변화율과 누적 그리고 연속추론에 따라 리만합의 극한을 변화와 변동에 기반하여 연속적 누적으로 사고할 수 있음을 확인하였다.

This study analyzed the characteristics of students thinking about the definite integrals as the limit of the Riemann sum according to the functional approach. The research was conducted as a design experiment over twelve lessons, with tasks involving the activity of constructing the height of a freely falling ball over time. The results showed that students recognized partitioning as representing quantities of change and constructed the height of the ball as a Riemann sum by accumulating these changes. Furthermore, through continuous reasoning based on accumulation, they expressed the height of the ball as the limit of a Riemann sum. These findings indicate that the formation of the concept of the definite integral through a functional approach can be made up of the ‘partition and the amount of change’ ➜ ‘understanding of change’ accumulation’ ➜ ‘limit’. It was confirmed that, through functional thinking involving rates of change, accumulation, and continuous reasoning, students could conceive of the limit of the Riemann sum as a continuous accumulation grounded in change and variation.