직각삼각형의 닮음을 이용한 피타고라스 정리의 대수적 증명에 대한 구체화

A Concretization on the Algebraic Proof of Pythagorean Theorem Using the Similarity of Right-angled Triangles

피타고라스 정리는 수학의 전공 여부를 떠나 학교 수학에서 학습한 내용 중 가장 유명하고 중요한 수학의 정리 중 하나이며, Loomis(1853~1940)는 대수적 방법, 기하적 방법 등 370여 가지 다양한 증명 방법을 제시하였다. 본 연구에서는 다양한 피타고라스정리의 증명 중에서 3개의 닮은 직각삼각형의 변 사이의 비례관계를 활용한 증명 방법을 구체화하였다. 3개의 닮은 직각삼각형의 변들 사이의 관계를 이용하면 모두 84가지비례식 조합이 가능하다. 이 중 40가지는 피타고라스 정리를 증명할 수 없는 조합이며, 44가지는 증명이 가능한 조합이다. 하지만, 44가지 조합이 어떤 비례식 조합인지 그리고 각각의 경우에 증명 방법은 무엇인지에 대하여 구체적으로 제시한 연구는 없다. 본연구에서는 84가지 비례식 조합 중에서 증명이 불가능한 조합과 가능한 조합을 구체적으로 제시하고 그 이유를 설명하였다. 2015 개정 교육과정에서 피타고라스 정리가 중학교 3학년에서 중학교 2학년으로 이동하여 다루므로, 곱셈 공식을 활용하는 방법은 더이상 사용할 수 없다. 주로 넓이 관계를 이용하거나 종이를 오려 붙이는 활동을 통해설명하고 있다. 이런 상황에서 3개의 닮은 직각삼각형의 성질을 이용한 피타고라스 정리의 증명을 정교화하고 분석하는 것은 다양한 논리적 정당화 방법의 활용이라는 측면에서 의의가 있다.

The Pythagorean theorem is one of the most famous and important mathematical theorem learned in school mathematics, regardless of whether it is a major in mathematics, and Loomis (1853-1940) presented 370 different methods of proof, including algebraic and geometric methods. In this study, among the proofs of various Pythagorean theorem, the proof method using the proportional relationship between the sides of three similar right-angled triangles was specified. Using the sides of three similar right triangles, 84 proportional combinations are possible. Of these, 40 combinations are non-provable combinations of Pythagorean theorem, and 44 combinations have already been presented as verifiable. However, there is no specific study on which proportional formula combination can be proved and how it can be proved. In this study, among 84 proportional combinations, the combinations that cannot be proved and the possible combinations were specifically presented and the reason was explained. In the 2015 revised curriculum, Pythagorean theorem was moved from the 3rd grade of middle school to the 2nd grade, so the method of utilizing the multiplication formula is no longer available. It is mainly explained by using the area relationship or by cutting and pasting paper. In this situation, elaborating and analyzing the proof of Pythagorean theorem using the properties of three similar right triangles is meaningful in terms of the use of various logical justification methods.