해석역학의 일반공변적 형식화에 대하여

On the General Covariant Formalism of the Analytical Mechanics

본 논문은 해석역학의 고전적 형식을 일반상대론의 일반공변성 원리에 따라 재구성하는 수학적 시도에 대해 고찰하고자 한다. 전통적인 고전역학은 시간변수를 독립적이고 절대적인 기준으로 삼지만, 일반상대론에서는 시간도 다른 물리량과 동등한 지위를 가지며, 이는 양자중력 이론 정립에 필수적인 관점의 전환을 요구한다. 본 논문에서는 카를로 로벨리의 이론에 따라 시간의 특수성을 제거하고, 모든 관측량을 대등하게 다루는 일반공변적 해석역학을 수학적 논의와 함께 소개하고자 한다. 이를 위해 라그랑주 및 해밀턴 역학, 그리고 해밀턴-야코비 이론의 고전적 형식화를 재검토하고, 준심플렉틱 기하를 기반으로 시간 매개화가 제거된 상대론적 형식화를 도입한다. 나아가 제한조건에 따른 위상공간의 구조와 운동방정식의 게이지 불변성도 정리하여, 물리적 운동이 단일한 시간 흐름이 아닌 관측량 간의 상호관계로 표현될 수 있음을 강조한다. 이러한 접근은 양자중력 이론에 대한 이론적 기반을 제공할 수 있는 심오한 철학적 및 수학적 함의를 가진다고 할 수 있다.

This paper examines a mathematical reformulation of classical analytical mechanics based on the principle of general covariance in general relativity. While traditional classical mechanics treats time as an independent and absolute variable, general relativity assigns time the same status as other physical quantities—an essential shift in perspective for formulating a theory of quantum gravity. Following the framework of Carlo Rovelli, this study introduces a generally covariant formulation of analytical mechanics that eliminates the privileged role of time and treats all observables equally. Beginning with a review of classical formulations such as Lagrangian, Hamiltonian, and Hamilton– Jacobi mechanics, the paper develops a relativistic formulation grounded in presymplectic geometry that removes time parametrization. The structure of phase space with constraints and the gauge invariance of the equations of motion are also addressed, demonstrating that physical motion is not defined by the flow of time, but rather by the interrelations among observables. This approach offers profound implications for the philosophical and mathematical foundations of physics and provides a theoretical basis for quantum gravity.